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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.6}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 且 $P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{2}$. 求 $P(\overline{A B})$ 与 $P(\overline{A+B})$.}
\textbf{解:}\quad
$$
\begin{aligned}
    P(\overline{AB}) &= 1 - P(AB) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\\
    P(\overline{A + B}) &= P(\bar{A}\bar{B}) = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3}
\end{aligned}
$$

\section{3. 某单位招工需经过四项考核, 设能通过第一、第二、第三、第四项考核 的概率分别为 $0.6,0.8,0.91,0.95$, 且各项考核是独立的, 只要有一项不通过就会被淘汰, 试求:（1）这项招工的淘汰率;（2）虽通过第一、第三项考核, 但仍被淘汰的概率.}
\textbf{解:}\quad 
设事件$A_i(i=1,2,3,4)$为通过第一、二、三、四项考核.

(1)

招工淘汰率为:

$$
\begin{aligned}
    P(\overline{A_1A_2A_3A_4})&=1 - P(A_1A_2A_3A_4) = 1 - 0.6\cdot 0.8\cdot 0.91\cdot 0.95 = 0.585
\end{aligned}
$$

(2)
$$
\begin{aligned}
    P(A_1A_3\overline{A_2A_4})&=P(A_1)P(A_3)P(\overline{A_2A_4}) = P(A_1)P(A_3)(1-P(A_2A_4))\\
    &=0.6 \cdot 0.91\cdot(1-0.8\cdot 0.95)=0.131
\end{aligned}
$$

\section{在1h内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是 $0.9,0.8$ 和 $0.85$, 求:1h内(1)没有一台机床需要维修的概率;(2)至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.}
\textbf{解:}\quad
设$A_i(i=1,2,3)$为甲、乙、丙需要维修.

(1)没有一台机床需要维修的概率为:
$$
\begin{aligned}
    P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}) & = P(\bar{A_1})P(\bar{A_2})P(\bar{A_3}) = 0.1\cdot 0.2 \cdot 0.15 = 0.003
\end{aligned}
$$

(2)至少有一台机床不需要维修的概率为
$$
\begin{aligned}
    P(\overline{A_1A_2A_3}) = 1 - P(A_1A_2A_3) = 1 - 0.9\cdot 0.8\cdot 0.85 = 0.388
\end{aligned}
$$

(3) 至多只有一台机床需要维修的概率为
$$
\begin{aligned}
    P(\bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3}) +& P(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3)+P(\bar{A_1}A_2\bar{A_3})+P(A_1\bar{A_2}\bar{A_3})\\
    &=0.1\cdot 0.2 \cdot 0.15 + 0.1 \cdot 0.2\cdot 0.85+0.1\cdot 0.8\cdot 0.15 + 0.9\cdot 0.2 \cdot 0.15\\
    &=0.059
\end{aligned}
$$

\end{document}